Теоретический анализ основных математических понятий

Таким образом, получаем второе определение частного:

Определение. Частным целого неотрицательного числа а и натурального числа b называется такое целое неотрицательное число с = а:b, произведение которого и числа b равно а.

Можно показать и наличие обратной связи, т. е. что из второго определения частного вытекает первое:

а:b = с а = с·b

Итак, во втором случае частное определено через произведение. Поэтому говорят, что деление есть действие, обратное умножению.

Всегда ли существует частное натуральных чисел a и b? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

Теорема. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы bа.

Доказательство. Пусть частное натуральных чисел a и b существует, т. е. существует такое натуральное число с, что а = с·b. Для любого натурального числа с справедливо утверждение 1с. Умножим обе части этого неравенства на натуральное число b, получим b c·b. Поскольку с·b = а, то b а. Теорема доказана.

Чему равно частное а = 0 и натурального числа b? По определению это такое число а, которое удовлетворяет условию с·b = 0. Так как b ≠ 0, то равенство c·b = 0 будет выполняться при с = 0. Следовательно, 0:b = 0, если bN.

Теорема. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Рассмотрим теперь вопрос о невозможности деления целого неотрицательного числа на нуль.

Пусть даны числа а ≠ 0 и b = 0. Предположим, что частное чисел а и b существует. Тогда по определению частного существует такое целое неотрицательное число с, что а = с·0, отсюда а = 0. Пришли к противоречию с условием. Следовательно, частное чисел а ≠ 0 и b = 0 не существует.

Если a = 0 и b = 0, то из предложения, что частное таких чисел а и b существует, следует равенство 0 = с·0, истинное при любых значениях с, т. е. частным чисел а = 0 и b = 0 может быть любое число. Поэтому в математике считают, что деление нуля на нуль также невозможно.

В начальном курсе математики первоначальные представления о делении формируются на основе практических упражнений, связанных с разбиением, множества на попарно непересекающиеся равномощные подмножества, но без введения соответствующей терминологии и символики. Главным средством раскрытия этого понятия деления является решение простых задач.

Определение деления как действия, обратного умножению, в явном виде не дается. Взаимосвязь деления и умножения устанавливается при изучении темы «Нахождение неизвестного множителя», где, по существу, происходит обобщение двух смыслов частного, имеющих место при его теоретико-множественной трактовке [20,147-149].

Читайте также:

Игра и история ее возникновения
По моему мнению, правильным будет начать с того, что же такое игра и как она появилась. Сам термин “игра” на различных языках соответствует понятиям о шутке и смехе, легкости и удовольствии и указывает на связь этого процесса с положительными эмоциями. Вершиной эволюции игровой деятельности являетс ...

Формы досуга человека
Досуг – «деятельность в свободное время вне сферы общественного и бытового труда, благодаря которой человек восстанавливает свою способность к труду и развивает в себе те умения и способности, которые невозможно усовершенствовать в сфере трудовой деятельности». От умения направлять свою деятельност ...

Роль и место политехнических знаний при изучении раздела «Вязание на спицах», 8 класс
Цель изучения этого раздела – способствовать формированию у учащихся художественной культуры как составной части материальной и духовной культуры, художественно-творческой активности, помочь им в овладении образным языком декоративно-прикладного искусства. Предлагаемая программа построена так, чтоб ...