Теоретический анализ основных математических понятий

Понятие произведения целых неотрицательных чисел может быть определено по-разному. Рассмотрим сначала подход, в основе которого лежит понятие суммы.

Определение. Произведением целых неотрицательных чисел а и b называется такое целое неотрицательное число а·b, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) а·b = а + а + . + а при b > 1;

b слагаемых

2) а·1=а при b = 1;

3) а·0 = 0 при b = 0 [19,270].

Теоретико-множественный смысл этого определения следующий. Если множества А1, A2, ., Аb имеют по a элементов каждое и никакие два из них не пересекаются, то их объединение содержит а·b элементов. Следовательно, произведение a·b – это число элементов в объединении b попарно непересекающихся множеств, каждое из которых содержит по а элементов. Равенства а·1=а и а·0=0 принимаются по условию.

Действие, при помощи которого находят произведение чисел а и b, называют умножением; числа, которые умножают, называют множителями.

Произведение любых целых неотрицательных чисел существует, и оно единственно.

С данным определением учащиеся знакомятся в начальных классах. Смысл его раскрывается при решении простых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 6 таких пальто?»

Почему она решается при помощи умножения? Потому, что в ней требуется найти число элементов в объединении, состоящем из 6 множеств, в каждом из которых по 4 элемента. Согласно определению это число находится умножением: 4·6 = 24 (пуговицы).

Имеется и другое определение произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с декартовым произведением множеств.

Пусть даны два множества: А={х, у, z} и В = {n, t, r, s}. Найдем их декартово произведение, которое запишем в виде прямоугольной таблицы:

(х, n), (х, t), (х, r), (х, s),

(y, n), (у, t), (у, r), (у, s),

(z, n), (z, t), (z, r), (z, s).

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую первую компоненту, а в каждом столбце одинаковая вторая компонента. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении АхВ равно 3+3+3+3=12. С другой стороны, n(А) = 3, n(В) = 4 и 3·4 = 12. Видим, что число элементов в декартовом произведении данных множеств А и В равно произведению n(А)·n(В).

Вообще если А и В – конечные множества, то

n(А х В)=n(А) х n(В).

Таким образом, произведение целых неотрицательных чисел а и b можно рассматривать как число элементов декартова произведения множеств А и В, где n(А)=а, n(В)=b:

a·b = n(А х В),

где n(А) = а, n(В) = b

И в первом, и во втором случае нами определено произведение двух чисел. А как определить произведение нескольких множителей?

Пусть произведение двух множителей определено и определено произведение n множителей. Тогда произведение, состоящее из n+1 множителя, т. е. произведение a1 · a2 · . · аn · аn+1, равно (a1 · a2 · . · an) · an+1.

Например, чтобы найти произведение 2·7·5·9 согласно этому определению, надо выполнить последовательно следующие преобразования:

2·7·5·9 = (2·7·5)·9 = ((2·7)·5)·9 = (14·5)·9 = 70·9 = 630.

Докажем переместительный закон умножения через декартово произведение множеств.

Переместительный закон: для любых целых неотрицательных чисел a и b справедливо равенство a·b = b·a.

Пусть a = n(А), b = n(В). Тогда по определению произведения

a·b = n(А*В).

Но множества А*В и В*А равномощны: каждой паре (a, b) из множества А*В можно поставить соответствие единственную пару (b, a) из множества В*А, и наоборот. Значит,

n(А*В) = n(В*А),

и поэтому a·b = n(А*В) = n(В*А) = b·a.

Читайте также:

Методика провидения занятий и специальные упражнения для глазных мышц
Различные системы тренинга зрения, а также вспомогательные общеукрепляющие корригирующие упражнения занимают особое место. Еще в древние гимнастические системы входили упражнения в виде разнообразных движений глаз (повороты, круговые движения и т. п.). Несомненно, они полезны, так как тренируют мыш ...

Пересказы художественного текста
Воссоздающие (подробный, сжатый, выборочный) и творческие (с изменением лица рассказчика, осложненные творческими заданиями и т.д.) пересказы широко применяются в младших и средних классах как прием, способствующий усвоению содержания произведения и развития речи учащихся (В.В. Голубков, М.А. Рыбни ...

Сущность обучения разговорной диалогической эвенской речи учащихся начальных классов
Чтобы решить вопросы привития учащихся начальных классов хотя бы элементарных навыков повседневного общения на эвенском языке, нужно знать, какие же особенности отличают разговорную диалогическую речь от литературно обработанной, нормированной книжной речи. Обучение диалогической речи, кроме усвоен ...