Основные направления изучения линии уравнений в школьном курсе алгебры

В процессе решения уравнений также используется понятие логического следования, которое изучается позже понятия равносильности и является дополнением к нему. Методика работы с понятием логического следования имеет много общих черт с методикой изучения равносильности и равносильных преобразований. Нередко в практике работы учителей логическое следование применяется как прием, упрощающий процесс решения, если сохранение равносильности может быть достигнуто сравнительно "дорогой ценой" [14, 111].

Среди неравносильных преобразований есть преобразования, не являющиеся логическим следованием. Например, переход к рассмотрению частного случая (пример: переход от уравнения и рассматривать как практические приемы, позволяющие сосредоточить внимание на отдельных шагах процесса решения уравнения).

Можно выделить три основных типа таких преобразование:

Преобразование одной из частей уравнения.

Согласованное преобразование обеих частей уравнения.

Преобразование логической структуры.

Преобразования первого типа используются при необходимости упрощения выражения в какой-то из частей уравнения. Например, решая уравнение можно пытаться заменить выражение в левой части более простым. В данном случае соответствующее преобразование приводит к уравнению , неравносильному исходному за счет изменения области определения. Возможность получения при такой замене уравнения, неравносильного данному, приходится учитывать при изучении некоторых типов уравнений, например тригонометрических или логарифмических.

В классе дробно-рациональных уравнений с этим явлением приходится сталкиваться гораздо реже. Здесь это связано с возможностью потери корней при сокращении дробей. Наконец, в классе целых алгебраических уравнений рассматриваемый тип преобразований всегда приводит к уравнениям, равносильным данным.

Преобразования второго типа состоят в согласованном изменении обеих частей уравнения в результате применения к ним арифметических действий или элементарных функций. Преобразования второго типа сравнительно многочисленны. Они составляют ядро материала, изучаемого в линии уравнений.

Приведем примеры преобразований этого типа.

Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения.

Умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и того же выражения.

Переход от уравнения а = b к уравнению f (a) =f (b), где f - некоторая функция, или обратный переход.

К третьему типу преобразований относятся:

преобразования, осуществляемые на основе свойств арифметических операций. К ним можно отнести переход от уравнения к совокупности уравнений после предварительного разложения на множители; переход от уравнения к системе после приравнивания суммы квадратов выражений к нулю; почленное сложение, умножение, деление уравнений, неравенств и т.д.

преобразования, осуществляемые при помощи логических операций. Примерами их являются выделение из системы одного из компонентов, замена переменных.

Таким образом, владение содержанием линии уравнений позволяет расширить список выполнимых преобразований.

В итоге изучения материала линий уравнений учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо.

Читайте также:

Основные факторы повышения эффективности управления МОУ «Средняя общеобразовательная школа №17 г. Йошкар-Олы»
Разделим основные факторы повышения эффективности управления МОУ «Средняя общеобразовательная школа №17 г. Йошкар-Олы» на три большие группы (см. рис.6). Основные факторы повышения эффективности управления муниципальным общеобразовательным учреждением þ факторы повышения эффективности управле ...

Роль и место раздела «Домашняя экономика» в образовательной области «Технология», 8 класс
«Домашней экономика» - изучается в 8 классе (8 часов). Как известно, первоначальные понятия о домашней экономике учащиеся осваивают в семье, школе, окружающей среде, при выполнении проектов. Семья – это общество в миниатюре, она развивается по тем же экономическим законам, что и общество, а, потому ...

Педагогические приоритеты программ системы летнего отдыха детей
Система деятельности детей в период летнего отдыха представляет собой специфическую педагогическую реальность, обладающую важным значением для развития личности школьника. Это обусловлено рядом факторов и, прежде всего, особым местом летнего периода, как особой временной и средовой ниши, снимающей ...