Методика изучения квадратных уравнений

На третьем этапе рассматриваются приведенные квадратные уравнения, которые имеют вид х2 +px + q = 0 (3), где p и q - данные числа. Число p - коэффициент при х, а q - свободный член.

Дискриминант уравнения равен: D = p2 - 4q. Приведенные квадратные уравнения получаются из полного квадратного уравнения следующим образом:

Где и .

Рассматривают 3 случая:

1. D > 0, тогда уравнение (3) имеет два корня, вычисляемые по формуле

.

(Приложение 1) (4)

2. D = 0, тогда уравнение (3) имеет единственный корень, или, как говорят, два совпадающих корня:

3. D < 0, то уравнение не имеет корней. Обычно в случае приведенного квадратного уравнения (3) вместо D рассматривается выражение , имеющее тот же знак, что и D. При этом формулу корней приведенного квадратного уравнения (4) записывают так:

Отсюда следует, что:

если то уравнение (3) имеет два корня;

если то уравнение имеет два совпадающих корня;

если то уравнение не имеет корней.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения [23,17].

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. (Приложение 2)

Иначе говоря, если x1 и x2 - корни уравнения х2 +px + q = 0, то

x1 + x2 = - p,

x1 x2 = q. (5)

Данные формулы называют формулами Виета в честь французского математика Ф. Виета (1540-1603), (Приложение 3) который ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

Например, приведенное уравнение х2 - 7х +10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Справедлива также теорема, обратная теореме Виета.

Теорема, обратная теореме Виета. Если для чисел x1, x2, p, q справедливы формулы (5), то x1 и x2 - корни уравнения х2 + px + q = 0 [2,49].

Читайте также:

Методы преодоления темпо – ритмических нарушений у заикающихся дошкольников
Становлению современного комплексного подхода к преодолению заикания предшествовала разработка ряда различных методов и путей преодоления этого заболевания. Многочисленность, а иногда и недостаточная эффективность этих методов объясняются сложностью и многообразием проявлений самого заикания и уров ...

Становление интеллектуальной культуры в обществе
История человеческой цивилизации свидетельствует о том, что общество всегда нуждалось и нуждается в людях, которые концентрируют в себе высокий интеллектуальный и творческий потенциал, неординарные аналитические способности. Они необходимы как эталон, как высший показатель, к которому следует стрем ...

Поэтика волшебных сказок
"Сравнительный указатель сюжетов" включает 225 сюжетообразующих мотивов волшебной сказки, самые популярные из которых (“Победитель змея”, “Бой на калиновом мосту”, “Три подземных царства”, “Смерть Кащея в яйце”, “Чудесное бегство”, “Звериное молоко”, “Мачеха и падчерица”, “Сивко-Бурко”, “ ...