Профилактика затруднений школьников при обучении математике на примере темы "Уравнения с переменной в знаменателе"

Упростив уравнение (2), получим квадратное уравнение

Его корни – числа -2 и 5.

Проверим, являются ли они корнями уравнения (1). При общий знаменатель не обращается в 0. Значит, число -2 – корень уравнения(1).

Итак, корнем уравнения (1) служит только число -2.

Вообще, при решении дробных уравнений целесообразно поступать следующим образом:

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

Решить получившееся целое уравнение;

Исключить из его корней те, которые обращают в 0 общий знаменатель.

Метод, использующий равенство дроби 0.

Начнем с примера. Пусть требуется решить уравнение

(1)

Перенесем выражение в левую часть уравнения с противоположным знаком, т. е. прибавим к обеим частям уравнения по и разность в правой части уравнения заменим нулем. Получим уравнение

(2)

Может ли при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) произойти потеря или приобретение корней?

Очевидно, что так как разность тождественно равна 0 на множестве тех значений у, при которых то мы могли бы приобрести новые корни за счет значений у, обращающих в нуль выражение Но они не могут служить корнями уравнения (2), так как при этих значениях выражение , входящее в качестве слагаемого в левую часть уравнения (2), теряет смысл.

Рассуждая аналогично, мы можем показать, что вообще уравнение r(х) = р(х), где r(х) и р(х) — рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное, равносильно уравнению r(х) —p(x)=0

Вернемся к рассматриваемому примеру. Представив теперь cумму дробей в виде отношения двух многочленов, получим уравнение

(3)

Так как в результате преобразования суммы дробей в дробь мы получили выражение с той же областью определения и тождественно равное исходному выражению на этой области, то уравнение (3) равносильно уравнению (2), а следовательно, и уравнению (1).

Всякое ли преобразование дробного выражения r(х) — p(х) в дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, позволяем от уравнения r(х) — р(х) = 0 перейти к равносильному уравнению вида , где f (х) и g (х) — многочлены?

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Заменив в уравнении

(4)

Читайте также:

Сущность обучения разговорной диалогической эвенской речи учащихся начальных классов
Чтобы решить вопросы привития учащихся начальных классов хотя бы элементарных навыков повседневного общения на эвенском языке, нужно знать, какие же особенности отличают разговорную диалогическую речь от литературно обработанной, нормированной книжной речи. Обучение диалогической речи, кроме усвоен ...

Реализация Национального Проекта «Образование»
Реализация ПНПО в РФ Приоритетный национальный проект "Образование" призван ускорить модернизацию российского образования, результатом которой станет достижение современного качества образования, адекватного меняющимся запросам общества и социально-экономическим условиям. В нацпроекте зал ...

Особенности применения игр при подготовке учащихся к семейной жизни
Прошедшие несколько лет – первых в педагогической жизни нового курса «Этика и психология семейной жизни» - отчётливо показали как необходимость этой дисциплины, так и весьма большие трудности в её преподавании. Не вдаваясь в подробный анализ всех этих трудностей, хотелось бы указать только на одну, ...