Профилактика затруднений школьников при обучении математике на примере темы "Уравнения с переменной в знаменателе"

Упростив уравнение (2), получим квадратное уравнение

Его корни – числа -2 и 5.

Проверим, являются ли они корнями уравнения (1). При общий знаменатель не обращается в 0. Значит, число -2 – корень уравнения(1).

Итак, корнем уравнения (1) служит только число -2.

Вообще, при решении дробных уравнений целесообразно поступать следующим образом:

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

Решить получившееся целое уравнение;

Исключить из его корней те, которые обращают в 0 общий знаменатель.

Метод, использующий равенство дроби 0.

Начнем с примера. Пусть требуется решить уравнение

(1)

Перенесем выражение в левую часть уравнения с противоположным знаком, т. е. прибавим к обеим частям уравнения по и разность в правой части уравнения заменим нулем. Получим уравнение

(2)

Может ли при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) произойти потеря или приобретение корней?

Очевидно, что так как разность тождественно равна 0 на множестве тех значений у, при которых то мы могли бы приобрести новые корни за счет значений у, обращающих в нуль выражение Но они не могут служить корнями уравнения (2), так как при этих значениях выражение , входящее в качестве слагаемого в левую часть уравнения (2), теряет смысл.

Рассуждая аналогично, мы можем показать, что вообще уравнение r(х) = р(х), где r(х) и р(х) — рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное, равносильно уравнению r(х) —p(x)=0

Вернемся к рассматриваемому примеру. Представив теперь cумму дробей в виде отношения двух многочленов, получим уравнение

(3)

Так как в результате преобразования суммы дробей в дробь мы получили выражение с той же областью определения и тождественно равное исходному выражению на этой области, то уравнение (3) равносильно уравнению (2), а следовательно, и уравнению (1).

Всякое ли преобразование дробного выражения r(х) — p(х) в дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, позволяем от уравнения r(х) — р(х) = 0 перейти к равносильному уравнению вида , где f (х) и g (х) — многочлены?

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Заменив в уравнении

(4)

Читайте также:

Половое и гигиеническое воспитание в семье
Поскольку половое и гигиеническое воспитание, как и всякий другой вид воспитания – проблема педагогическая, то важную роль здесь должна играть семья и прежде всего – отец и мать. Семья играет главную роль в формировании личностных и эстетических ценностей у учащихся, является для них примером для п ...

Цель и задачи исследования Характеристика состава экспериментальной и контрольной группы
Наглядно-действенное мышление - форма мышления, вплетенная в реальное манипулирование предметами и обслуживающая, прежде всего практические задачи. По мере усложнения этой формы мышления происходит постепенное отделение выполняемых действий по разрешению проблемной ситуации от внешних наглядно восп ...

Анализ особенности словаря детей
Экспериментальная работа проводилась в МДОУ № 82 г. Ангарска В исследовании принимало участие 38 детей - две группы: экспериментальная и контрольная. 1. Изучить уровень развития словаря детей третьего года жизни. 2. Разработать методику использования разнообразных приемов работы на занятиях с игруш ...