Профилактика затруднений школьников при обучении математике на примере темы "Уравнения с переменной в знаменателе"

Упростив уравнение (2), получим квадратное уравнение

Его корни – числа -2 и 5.

Проверим, являются ли они корнями уравнения (1). При общий знаменатель не обращается в 0. Значит, число -2 – корень уравнения(1).

Итак, корнем уравнения (1) служит только число -2.

Вообще, при решении дробных уравнений целесообразно поступать следующим образом:

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

Решить получившееся целое уравнение;

Исключить из его корней те, которые обращают в 0 общий знаменатель.

Метод, использующий равенство дроби 0.

Начнем с примера. Пусть требуется решить уравнение

(1)

Перенесем выражение в левую часть уравнения с противоположным знаком, т. е. прибавим к обеим частям уравнения по и разность в правой части уравнения заменим нулем. Получим уравнение

(2)

Может ли при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) произойти потеря или приобретение корней?

Очевидно, что так как разность тождественно равна 0 на множестве тех значений у, при которых то мы могли бы приобрести новые корни за счет значений у, обращающих в нуль выражение Но они не могут служить корнями уравнения (2), так как при этих значениях выражение , входящее в качестве слагаемого в левую часть уравнения (2), теряет смысл.

Рассуждая аналогично, мы можем показать, что вообще уравнение r(х) = р(х), где r(х) и р(х) — рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное, равносильно уравнению r(х) —p(x)=0

Вернемся к рассматриваемому примеру. Представив теперь cумму дробей в виде отношения двух многочленов, получим уравнение

(3)

Так как в результате преобразования суммы дробей в дробь мы получили выражение с той же областью определения и тождественно равное исходному выражению на этой области, то уравнение (3) равносильно уравнению (2), а следовательно, и уравнению (1).

Всякое ли преобразование дробного выражения r(х) — p(х) в дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, позволяем от уравнения r(х) — р(х) = 0 перейти к равносильному уравнению вида , где f (х) и g (х) — многочлены?

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Заменив в уравнении

(4)

Читайте также:

Самостоятельная деятельность школьника в обучении: анализ различных подходов. Структура самостоятельной деятельности
Любая наука ставит своей задачей не только описать и объяснить тот или иной круг явлений или предметов, но и в интересах человека управлять этими явлениями и предметами, и, если нужно, преобразовывать их. Управлять и тем более преобразовывать явления можно только тогда, когда они достаточно описаны ...

Иерархия потребностной структуры ребенка в условиях социализации
Не одно десятилетие ученые и практики бились над положительным решением этой серьезной проблемы. Данные научных исследований в психологии раннего детства последних лет дали богатый материал, помогающие переосмыслить многие положения этой проблемы. Опыт практиков описывающих поведение детей в этот п ...

Значение социальной работы для общества
С апреля 1991 года в России появилась новая профессия – социальный работник, деятельность которого обращена на всю систему жизнеобеспечения человека, жизненную ситуацию людей, ее целостности, а не только в острых бедственных ситуациях как проявление заботы, милосердия, сопереживания. В это же время ...