Профилактика затруднений школьников при обучении математике на примере темы "Уравнения с переменной в знаменателе"

Необходимо подчеркнуть, что здесь для нас существенным является тот факт, что выражение g(х) имеет смысл при любом х. В общем случае уравнение вида равносильно системе

Например, уравнение

равносильно системе

т. е. cистеме

Следует заметить, что при решении системы где

f(х) и g(х) — некоторые многочлены, вовсе не обязательно находить множество значений х, при которых Достаточно, найдя

корни уравнения , проверить, удовлетворяют ли они условию

В учебниках метод решения уравнений вида , где

f(х) и g(х) — целые выражения, разъясняется на примере уравнения

,

равносильного системе

.Учащиеся

не могут найти множество значений х при которых х 3— х — 1200, но этого и не требуется для решения системы. Непосредственная подстановка убеждает их, что из двух корней уравнения х2 — 5х = 0, равных 0 и 5, только первый удовлетворяет условию Значит, рассматриваемая система, а следовательно и уравнение

,

имеет единственное решение — число 0.

При решении уравнения вида r(х) = р(х), где r(х) и р(х) — рациональные выражения, можно не сводить его к уравнению r(х) — р(х) = 0, а представить выражения r(х) и р(х) в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если при этом не выполнялись тождественные преобразования, которые могут привести к нарушению равносильности, то получится уравнение вида

,

где т(х), п(х), q(х) — целые выражения, равносильные уравнению r(х) = р(х). Уравнение указанного вида равносильно системе

Равносильность этих предложений можно доказать, опираясь на свойство числовых дробей: дроби с одинаковыми знаменателями равны тогда и только тогда, когда их числители равны, а общий знаменатель отличен от 0 (выражение q(х) имеет смысл при любом значении х).

Читайте также:

Изображение пейзажа
Окружающая человека природа издавна волновала его, восхищала своей красотой, величием, помогала в его нелегкой жизни, защищала и укрывала, от врагов. Элементы пейзажа встречаются на украшениях стен гробниц и дворцов Древнего Востока. Многие сюжеты картин Мазаччо, Джотто, Леонардо да Винчи, Микеланд ...

Анализ теоретических подходов к этнокультуре в развитии дошкольника
Включение ребенка в различные виды художественной деятельности, основанные на материале народного творчества, - одно из главных условий полноценного эстетического воспитания ребенка и развития его художественно-творческих способностей. Подчеркивая значение искусства для разностороннего развития чел ...

Социальная адаптация детей среднего дошкольного возраста
В старшем дошкольном возрасте очень важна полоролевая социализация дошкольников. Развитие у девочек таких качеств, как женственность, мягкость, отзывчивость, нежность, аккуратность стремление к красоте; а у мальчиков – мужественность, практичность, бережливость и умение ценить каждую вещь. Для этог ...