Профилактика затруднений школьников при обучении математике на примере темы "Уравнения с переменной в знаменателе"

Необходимо подчеркнуть, что здесь для нас существенным является тот факт, что выражение g(х) имеет смысл при любом х. В общем случае уравнение вида равносильно системе

Например, уравнение

равносильно системе

т. е. cистеме

Следует заметить, что при решении системы где

f(х) и g(х) — некоторые многочлены, вовсе не обязательно находить множество значений х, при которых Достаточно, найдя

корни уравнения , проверить, удовлетворяют ли они условию

В учебниках метод решения уравнений вида , где

f(х) и g(х) — целые выражения, разъясняется на примере уравнения

,

равносильного системе

.Учащиеся

не могут найти множество значений х при которых х 3— х — 1200, но этого и не требуется для решения системы. Непосредственная подстановка убеждает их, что из двух корней уравнения х2 — 5х = 0, равных 0 и 5, только первый удовлетворяет условию Значит, рассматриваемая система, а следовательно и уравнение

,

имеет единственное решение — число 0.

При решении уравнения вида r(х) = р(х), где r(х) и р(х) — рациональные выражения, можно не сводить его к уравнению r(х) — р(х) = 0, а представить выражения r(х) и р(х) в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если при этом не выполнялись тождественные преобразования, которые могут привести к нарушению равносильности, то получится уравнение вида

,

где т(х), п(х), q(х) — целые выражения, равносильные уравнению r(х) = р(х). Уравнение указанного вида равносильно системе

Равносильность этих предложений можно доказать, опираясь на свойство числовых дробей: дроби с одинаковыми знаменателями равны тогда и только тогда, когда их числители равны, а общий знаменатель отличен от 0 (выражение q(х) имеет смысл при любом значении х).

Читайте также:

Психолго-педагогические основы развития речи младших школьников
Одна из функций речи состоит в оформлении мысли, в ее выражении. «Внешняя речь,— как средство писал Л. С. Выготский,— есть процесс превращения мысли в слова, ее материализация» . Сле­довательно, психологической основой речи слу­жит мысль и условием ее развития является обогащение мысли. Лишь на осн ...

Нормативно-правовая база управления муниципальным общеобразовательным учреждением
образовательный школа кадровый трудовой К нормативно-правовым документам, регламентирующим деятельность муниципального общеобразовательного учреждения, относятся [15, с. 133]: 1.Закон РФ от 10.07.1992 № 3266-1 «Об образовании». 2.Закон РФ от 07.02.1992 № 2300-1 «О защите прав потребителей». 3.Гражд ...

Психолого-педагогические основы работы с младшими школьниками
Деятельность учителя начальной школы весьма специфична. Педагог работает и как учитель, и как классный руководитель. От его работы во многом зависит, насколько успешно будет протекать жизнедеятельность ребенка в школе. Здесь особенно важно знание возрастных особенностей детей: из-за пренебрежения и ...