Профилактика затруднений школьников при обучении математике на примере темы "Уравнения с переменной в знаменателе"

Необходимо подчеркнуть, что здесь для нас существенным является тот факт, что выражение g(х) имеет смысл при любом х. В общем случае уравнение вида равносильно системе

Например, уравнение

равносильно системе

т. е. cистеме

Следует заметить, что при решении системы где

f(х) и g(х) — некоторые многочлены, вовсе не обязательно находить множество значений х, при которых Достаточно, найдя

корни уравнения , проверить, удовлетворяют ли они условию

В учебниках метод решения уравнений вида , где

f(х) и g(х) — целые выражения, разъясняется на примере уравнения

,

равносильного системе

.Учащиеся

не могут найти множество значений х при которых х 3— х — 1200, но этого и не требуется для решения системы. Непосредственная подстановка убеждает их, что из двух корней уравнения х2 — 5х = 0, равных 0 и 5, только первый удовлетворяет условию Значит, рассматриваемая система, а следовательно и уравнение

,

имеет единственное решение — число 0.

При решении уравнения вида r(х) = р(х), где r(х) и р(х) — рациональные выражения, можно не сводить его к уравнению r(х) — р(х) = 0, а представить выражения r(х) и р(х) в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если при этом не выполнялись тождественные преобразования, которые могут привести к нарушению равносильности, то получится уравнение вида

,

где т(х), п(х), q(х) — целые выражения, равносильные уравнению r(х) = р(х). Уравнение указанного вида равносильно системе

Равносильность этих предложений можно доказать, опираясь на свойство числовых дробей: дроби с одинаковыми знаменателями равны тогда и только тогда, когда их числители равны, а общий знаменатель отличен от 0 (выражение q(х) имеет смысл при любом значении х).

Читайте также:

Воспитательный потенциал семьи
Среди разнообразных функций семьи первостепенное значение, бесспорно, имеет воспитание подрастающего поколения. Эта функция пронизывает всю жизнь семьи и связана со всеми аспектами ее деятельности. Однако практика семейного воспитания показывает, что оно не всегда бывает «качественным» в силу того, ...

Изучение личности ученика в образовательном процессе
Считается, что школа дает знания, готовит к жиз­ни, формирует мировоззрение, т.е. выполняет много важных социальных функций. Все это вер­но, но главная ее цель все-таки становление че­ловека в наиболее интенсивный период его воз­растного развития (6-17 лет). Если основная ее функ­ция — развивающая ...

Опыт использования проектной методики на уроках английского языка в 6 – 7 классах
Интеллектуальное развитие учащихся является одной из главных задач обучения иноязычной культуре в 6 -7 классах. Во всех компонентах УМК практически отсутствуют задания, ориентированные на механическое заучивание и воспроизведение материала. Учебный процесс строится как процесс решения постоянно усл ...