Профилактика затруднений школьников при обучении математике на примере темы "Уравнения с переменной в знаменателе"

выражение дробью и сократив эту дробь, мы получим уравнение х (х - 2) = 0, (5) не равносильное уравнению (4). Действительно, число 2 удовлетворяет уравнению (5), но не удовлетворяет уравнению (4).

Нарушение равносильности произошло за счет того, что мы выполнили тождественное преобразование, приводящее к выражению с более широкой областью определения: выражение определено при х2, а выражение х (х — 2) — при любом значении х.

Пример 2. В уравнении

(6)

заменим разность числом 0. Получим уравнение

(7)

Уравнение (7) не равносильно уравнению (6), так как существует такое значение переменной х (число 3), которое удовлетворяет уравнению (7), но не удовлетворяет уравнению (6).

Равносильность нарушена в связи с тем, что область определения выражения шире, чем область определения выражения

Если же при замене разности r (х) — р (х) рациональных выражений, хотя бы одно из которых дробное, дробью , где f (х) и g (х) — многочлены, были выполнены только те тождественные преобразования, которые не меняют области определения выражения, то получится уравнение равносильное уравнению r(х) — p(х) = О, а значит, и уравнению r(х) = р(х).

Так для уравнения (4) равносильным является уравнение

.

Для уравнения (6) равносильным является уравнение

т. е. уравнение

Заметим, что в том случае, когда в ходе выполнения тождественных преобразований область определения выражения расширилась, предложением, равносильным уравнению r(х) — р(х) = 0, будет являться система, составленная из уравнения и ограничений, накладываемых на х в связи с изменением области определения. Например, для уравнения (4) равносильным предложением является система

для уравнения (6) — система

Для решения уравнения вида где f(х) и g(х) — некоторые многочлены, используется условие равенства дроби нулю: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому уравнение указанного вида равносильно системе

Читайте также:

Опытное обучение лексическому аспекту английского языка на основе семантико-синтаксического подхода в 7 классе и анализ его результатов
Опытное обучение (ОО) школьников средней ступени лексическому аспекту ИЯ проводилось в гимназии № 47 г. Уфа. Продолжительность ОО составила 2 недели. В нем приняли участие 14 человек, которые обучались по программе для средних общеобразовательных школ. Эксперимент проводился в несколько этапов: 1) ...

Регламентация деятельности ДДТ
9.1 Деятельность ДДТ регламентируется следующими видами локальных актов: 9.1.1 Уставом ДДТ; 9.1.2 Программой деятельности ДДТ; 9.1.3 Правилами внутреннего распорядка; 9.1.4 Коллективным договором; 9.1.5 Программой развития; 9.1.6 Должностными инструкциями; 9.1.7 Договором между Учредителем и ДДТ; 9 ...

Психологические особенности младших школьников
Младший школьный возраст - период впитывания, накопления знаний, период усвоения по преимуществу. Успешному выполнению этой важной жизненной функции благоприятствуют характерные особенности детей этого возраста: доверчивое подчинение авторитету, повышенная восприимчивость, впечатлительность, наивно ...